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In der Mathematik stellt das Multinomialtheorem (auch Multinomialformel oder Multinomialsatz) oder Polynomialtheorem eine Verallgemeinerung des binomischen Lehrsatzes auf die Summe beliebig vieler Glieder dar, indem es die Binomialkoeffizienten als Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.

• Formel

• Beispiel

• Anwendung

• Herleitung

• Formelle Beweise

• Siehe auch

• Literatur

• Weblinks

Das Multinomialtheorem besagt, dass

( x 1 + x 2 + … … + x n ) k = ∑ ∑ k 1 + … … + k n = k k 1 , … … , k n ≥ ≥ 0 ( k k 1 , … … , k n ) ⋅ ⋅ x 1 k 1 ⋅ ⋅ x 2 k 2 ⋯ ⋯ x n k n . {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n})^{k}\,=\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}=k \atop k_{1},\ldots ,k_{n}\geq 0}{k \choose k_{1},\ldots ,k_{n}}\,\cdot \,x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}.}

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Multinomialkoeffizienten

( k k 1 , … … , k n ) = k ! k 1 ! ⋅ ⋅ … … ⋅ ⋅ k n ! {\displaystyle {k \choose k_{1},\,\ldots ,\,k_{n}}={\frac {k!}{k_{1}!\cdot \,\ldots \,\cdot k_{n}!}}} ,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im Multinomialtheorem erhalten haben.

Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex α α {\displaystyle \alpha } :

( x 1 + x 2 + ⋯ ⋯ + x n ) k = ∑ ∑ | α α | = k ( k α α ) ⋅ ⋅ x α α . {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{{k} \choose \alpha }\cdot x^{\alpha }.}

Dabei identifiziert man x {\displaystyle x} mit dem Vektor ( x 1 , … … , x n ) ∈ ∈ R n {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} .

( x + y + z ) 3 = ( 3 3 , 0 , 0 ) x 3 + ( 3 2 , 1 , 0 ) x 2 y + ( 3 2 , 0 , 1 ) x 2 z + ( 3 1 , 2 , 0 ) x y 2 + ( 3 1 , 1 , 1 ) x y z + ( 3 1 , 0 , 2 ) x z 2 + ( 3 0 , 3 , 0 ) y 3 + ( 3 0 , 2 , 1 ) y 2 z + ( 3 0 , 1 , 2 ) y z 2 + ( 3 0 , 0 , 3 ) z 3 {\displaystyle (x+y+z)^{3}={3 \choose 3,0,0}\,x^{3}+{3 \choose 2,1,0}\,x^{2}y+{3 \choose 2,0,1}\,x^{2}z+{3 \choose 1,2,0}\,xy^{2}+{3 \choose 1,1,1}\,xyz+{3 \choose 1,0,2}\,xz^{2}+{3 \choose 0,3,0}\,y^{3}+{3 \choose 0,2,1}\,y^{2}z+{3 \choose 0,1,2}\,yz^{2}+{3 \choose 0,0,3}\,z^{3}}

Nach Auswerten der Multinomialkoeffizienten erhält man

( x + y + z ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x 2 z + 3 x y 2 + 6 x y z + 3 x z 2 + y 3 + 3 y 2 z + 3 y z 2 + z 3 {\displaystyle (x+y+z)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3x^{2}z+3xy^{2}+6xyz+3xz^{2}+y^{3}+3y^{2}z+3yz^{2}+z^{3}} .

Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung

n k = ( 1 + ⋯ ⋯ + 1 ) k = ∑ ∑ | β β | = k | β β | ! β β ! ≥ ≥ | α α | ! α α ! {\displaystyle n^{k}=(1+\cdots +1)^{k}=\sum _{|\beta |=k}{\frac {|\beta |!}{\beta !}}\geq {\frac {|\alpha |!}{\alpha !}}} für alle α α {\displaystyle \alpha } mit | α α | = k {\displaystyle |\alpha |=k} ,

also

| α α | ! ≤ ≤ n | α α | ⋅ ⋅ α α ! {\displaystyle |\alpha |!\leq n^{|\alpha |}\cdot \alpha !} .

Das Multinomialtheorem lässt sich durch folgende Überlegung herleiten: Schreibt man das Produkt ( x 1 + … … + x n ) k {\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{n})^{k}} aus, so liest es sich als

( x 1 + … … + x n ) ⋅ ⋅ ( x 1 + … … + x n ) ⋯ ⋯ ( x 1 + … … + x n ) {\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{n})\cdot (x_{1}+\ldots +x_{n})\cdots (x_{1}+\ldots +x_{n})} .

Beim Ausmultiplizieren der k {\displaystyle k} gleichen Klammerausdrücke fließt in jedes Produkt aus jeder Summe ( x 1 + … … + x n ) {\displaystyle (x_{1}+\ldots +x_{n})} genau ein Glied ein. Somit entstehen Produkte der Form x 1 k 1 ⋅ ⋅ x 2 k 2 ⋯ ⋯ x n k n {\displaystyle x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}} mit k 1 + k 2 + … … k n = k {\displaystyle k_{1}+k_{2}+\ldots k_{n}=k} . Diese Produkte werden additiv verknüpft, und es bleibt nur noch zu klären, welche Produkte wie oft entstehen. Ein Produkt x 1 k 1 ⋅ ⋅ x 2 k 2 ⋯ ⋯ x n k n {\displaystyle x_{1}^{k_{1}}\cdot x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}} entsteht dadurch, dass aus n {\displaystyle n} Klammerausdrücken k 1 {\displaystyle k_{1}} -mal die Zahl x 1 {\displaystyle x_{1}} ausgewählt wurde, k 2 {\displaystyle k_{2}} -mal die Zahl x 2 {\displaystyle x_{2}} ausgewählt wurde usw. Für diese Auswahl gibt es aber gerade ( k k 1 , … … , k n ) {\displaystyle {\tbinom {k}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}} Möglichkeiten.

Das Multinomialtheorem lässt sich beispielsweise mit Hilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder durch vollständige Induktion über n {\displaystyle n} unter Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes beweisen.

• Multinomialverteilung

• S.A. Rukova: Multinomial coefficient. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

• Jaroslav Nesetril, Jiri Matousek: Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise. Springer 2007, ISBN 978-3-540-30150-9, S. 79 (Auszug in der Google-Buchsuche)

• Dominique Foata, Aimé Fuchs: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Birkhäuser 1999, ISBN 3-7643-6169-7, S. 41–42 (Auszug in der Google-Buchsuche)

• Norbert Henze: Multinomialkoeffizient und multinomialer Lehrsatz In: KIT-Bibliothek Medienportal